欧拉公式

定义

对三维空间中的多面体而言, 令

  • \(\text{V}\): 顶点的个数
  • \(\text{E}\): 的个数
  • \(\text{F}\): 的个数

那么 欧拉公式 [1,2,3] 可以表述为\[ \text{V}-\text{E}+\text{F}=2. \tag{1}\]这个公式严格指出了如下事实, 对任意一个多面体, 其顶点数减去棱数再加上面的个数正好等于 2.

如果我们令多面体的个数 \(\text{Volume}=1\), 公式 (1) 具有另外一种形式 [4]\[ \text{V}-\text{E}+\text{F}-\text{Volume}=1. \tag{2}\]

二维空间的情况

对二维空间中的几何图形 (或者网格), 体的个数 \(\text{Volme}=0\), 因此公式 (2) 表明\[ \text{V}-\text{E}+\text{F}=1. \tag{3}\]

例 1. 在图 1 中, 我们画出了一个 L-形状的三角形网格,容易看出欧拉公式 (3) 是成立的. 同样地, 图 2 中的图形也是适用的.\[ \text{V}=8,\ \text{E}= 13,\ \text{F}= 6 \quad \Rightarrow \quad \text{V}-\text{E}+\text{F}-0=1.\]\[ \text{V}=21,\ \text{E}= 44,\ \text{F}= 24 \quad \Rightarrow \quad \text{V}-\text{E}+\text{F}-0=1.\]

图1. 三角形网格.

图2. 加细的三角形网格.

例 2. 在图 3 中, 网格包含 \(241\) 三角形, \(394\) 条边和 \(153\) 个顶点. 如果我们把中间的五角形也看做一个面, 那么这个平面图形也同样满足欧拉公式:\[ \text{V}=153,\ \text{E}= 394,\ \text{F}= 242 \quad \Rightarrow \quad \text{V}-\text{E}+\text{F}-0=1.\]

图3. 具有五角形洞的网格.

References

[1] Euler’s Formula: Definition, Formula, and Examples.
[2] Euler’s Formula.
[3] Abigail Kirk. Euler’s polyhedron formula. 2007.
[4] 巨鶸RD. 2019. 多维情况下的欧拉公式.

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