Inf-sup 条件

Inf-sup 条件

我们考虑如下弱形式的解的存在性: 寻找 \(u\in X\) 满足 $$ B(u,v)=F(v)\quad \forall v\in Y, $$ 其中, \(F\in Y‘\) 为定义在 \(Y\) 上的一个连续线性泛函.

许多经典的偏微分方程的研究都是首先考察弱解的存在性, 然后再证明在一定条件下满足的正则性. 反过来, 如果方程的解足够正则(光滑), 那么一定满足对应的弱形式. 在证明上述抽象问题解的存在性时, inf-sup 条件提供了一个强大的工具, 相比于强制性(coercivity), 它可以解决更加广泛的实际问题.

定理 1 (inf-sup condition) 令 \(X,Y\) 为实的自反 Banach 空间, 并且假设 \(B(\cdot ,\cdot):X\times Y\to \mathbb{R}\) 为连续的双线性形, 即存在常数 \(C>0\) 使得 $$ |B(u,v)|\leq C \|u\|_X \|v\|_{Y}\quad \forall u\in X, v\in Y. \tag{Eq. 1} $$ 那么, 如下两个条件 $$ \inf_{0\neq u\in X} \sup_{0\neq v\in Y} \frac{|B(u,v)|}{\|u\|_{X}\|v\|_{Y}} \geq \beta>0, \tag{Eq. 2a} $$ $$ \sup_{u\in X} B(u,v) >0\quad\forall 0\neq v\in Y \tag{Eq. 2b} $$ 成立当且仅当给定任意 \(F\in Y’\), 都存在唯一的 \(u_0\in X\) 满足 $$ B(u_0,v)=F(v)\quad \forall v\in Y. \tag{Eq. 3} $$ 另外, 如果 (Eq. 2a, 2b) 成立, 则弱解有如下先验估计 $$ \|u_0\|_{X} \leq \frac{1}{\beta}\|F\|_{Y’}. \tag{Eq. 4} $$

注. 条件 (Eq. 2a, 2b) 分别称为唯一性和存在性条件.

证明

(===>)

首先, 由连续性可知, 给定函数 \(u\in X\), 可以定义如下泛函$$ (Ru)(v):=B(u,v)\quad \forall v\in Y,$$
并且满足 \(\|Ru\|_{Y’}=\sup_{v\in Y}\frac{|(Ru)(v)|}{\|v\|_{Y}}\leq C \|u\|_{X}\). 从而, \(R:X\to Y’\) 为一个线性算子, 其算子范数满足 \(\|R\|_{X\to Y’}\leq C.\) 如果我们能够证明算子 \(R\) 为双射, 那么证明就结束了.

Step 1. \(R(X)\) 为闭集. 令 \(\left\{ R(u_n) \right\}\) 为空间 \(Y’\) 中的 Cauchy 序列, 其中 \(u_n\in X\), 则由定义和 (Eq. 2a) 可知 $$ \|R(u_n)\|_{Y’}= \sup_{0\neq v\in Y} \frac{|B(u_n,v)|}{\|v\|_{Y}} \geq \beta \|u_n\|_{X}, \tag{Eq. 5} $$ 从而 \(\left\{ u_n \right\}\) 也是一个 Cauchy 序列. 因为空间 \(X,Y\) 都是 Banach 空间, 从而 \(\left\{ R(u_n) \right\}\) 一定是一个收敛序列, 并且其极限也在 \(Y’\) 中. 注意, (Eq. 5) 也说明了算子 \(R\) 是单射.

Step 2. \(R(X)=Y’\). 假设 \(\overline{R(X)}=R(X)\neq Y’\), 注意到 \(Y\) 是自反的, 那么由 Hahn-Banach 定理可知, 存在一个 \(0\neq v_0 \in Y\) 使得 $$ 0=r(v_0) = \langle r, v_0\rangle \quad \forall r\in R(X),$$ 即 $$ 0=\langle r, v_0\rangle =\langle R(u), v_0\rangle = B(u,v_0) \quad \forall u\in X. $$ 这个结果与条件 (Eq. 2b) 相矛盾, 从而结论正确.

Step 3. 因为我们已经证明了算子 \(R\) 为双射, 那么对任意 \(F\in Y’\), 都存在唯一的 \(u_0=R^{-1}(F)\in X\), 并且由 (Eq. 3) 可知$$ \|R^{-1}(F)\|_{X} \leq \frac{1}{\beta} \|F\|_{Y’}, \quad \text{i.e.}\quad \|R^{-1}\|_{Y’\to X} \leq \frac{1}{\beta} .$$

(<===)

首先, 容易知道 (Eq. 3) 表明 (Eq. 4). 由 (Eq. 3) 可知算子 \(R\) 为双射, 从而存在一个常数 \(\beta>0\) 使得 \(\|R^{-1}\|_{Y’\to X} \leq \frac{1}{\beta}\). 其次, (Eq. 4) 表明 (Eq. 2a). 只需要对 (Eq. 4) 稍加变形即可得到 $$ \beta \leq \sup_{0\neq v\in Y} \frac{|B(u_0,v)|}{\|u_0\|_{X}\|v\|_{Y}}. $$ 上述结果对任意 \(F\in Y’\) 都成立, 也就对任意 \(u_0\in X\) 都成立. 取下确界即可. 最后, (Eq. 3) 表明 (Eq. 2b). 反证法. 假设存在 \(0\neq v_0 \in Y\) 使得 \(B(u,v_0)=0,\ \forall u\in X\). 由 Hahn-Banach 定理可知, 存在一个 \(F\in Y’\) 使得 \(F(v_0)\neq 0,\), 从而得到 $$ 0=B(u,v_0)=F(v_0)\neq 0. \quad (\text{矛盾}) $$

实际问题中的验证方法

在实际问题中我们可以通过如下方法来验证 inf-sup 条件: 给定 \(0\neq u \in X\), 找到一个 \(v_u\in Y\) 满足 $$ \begin{align*} \|v_{u}\|_{Y} &\leq \alpha_1 \|u\|_{X}\\ B(u,v_u) &\geq \alpha_2 \|u\|_{X}^2, \end{align*} $$ 那么 (Eq. 2a) 成立, 其中的常数 \(\beta=\frac{\alpha_2}{\alpha_1}\). 需要注意的是, 另一个条件 (Eq. 2b) 需要独立证明.

有限维情形. 如果 \(\text{dim} V < \infty , X=Y=V\), 那么 条件 (Eq. 2a) 与 (Eq. 2b) 等价. 这个结论可以由下述引理得到

  • 有限维空间上的映射如果是单射, 那它一定是满射, 反之亦然.
  • 线性系统 \(Ax=b\) 解的存在性等价于唯一性.

References

  1. Schwab, C. (1998). p- and hp- Finite Element Methods: Theory and Applications in Solid and Fluid Mechanics. Oxford University Press.

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