椭圆方程的正则性估计

椭圆方程的正则性估计是椭圆方程理论的一个重要内容, 同时也是证明数值方法收敛性估计的关键, 并且在 Maxwell 方程的正则性估计上有重要应用. 本文中, 我们给出一些关于椭圆方程正则性的结果, 并给出相关文献以飨读者.

Poisson 方程

考虑如下泊松方程 \[ \begin{equation} \begin{split} -\Delta u &= f \quad \text{在 }\Omega \text{上},\\ u&=0,\quad \text{on }\partial \Omega. \end{split}\tag{1} \end{equation} \] 通常, 我们遇到的最广泛也是实际应用中最关心的情形可以概括如下: 区域 \(\Omega\subseteq \mathbb{R}^n\) 是 Lipschitz 的, 源函数 \(f\in L^2(\Omega)\). 定义 \(V=H^1_0(\Omega)\), 那么问题 (1) 的弱形式表述如下: 寻找 \(u\in V\) 使得如下等式成立 \[ a(u,v):=(\nabla u, \nabla v)=(f,v)\quad \forall v\in V. \tag{2} \] 这是现代偏微分方程理论中最常见到的做法: 给定方程之后, 首先证明它的弱形式存在唯一的弱解, 然后利用正则性理论来考察该弱解具有的光滑性. 容易验证, 如果 \(u\in H^2(\Omega)\) 是方程 (1) 的弱解, 那么 \(u\) 也是原方程 (2) 的解. 反过来, 如果 \(f\in L^2(\Omega)\) 且 \(u\in H^2(\Omega)\) 是 (2) 的解, 那么它也是方程 (1) 的解. 但是, 实际情况是相对复杂的, 我们不可能证明对任意一个 Lipschitz 区域 \(\Omega\) 方程 (1) 的解 \(u\) 都具有 \(H^2(\Omega)\) 正则性. 事实上, 当 \(\Omega\) 是一个非凸的多边形区域时, 方程 (2) 的弱解一般只能是属于空间 \(H^s(\Omega)\), 其中 \(s\in (1/2,1)\), 见 Grisvard 2010 [3].

正则性结果

区域 \(\mathbb{R}^n\)

如果假定区域是整个 \(n\) 维空间, 那么我们可以很容易的利用 Fourier 变换得到如下的正则性结果 (见 Brenner and Scott [1]): \[ \left| u \right|_{H^2(\mathbb{R}^n)}\leq C \|f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}. \tag{3} \] 事实上, 我们注意到 Fourier 变换可以对角化微分算子, 即: \[ \widehat{D^\alpha u}(\xi)=(i\xi)^\alpha \hat{u}(\xi), \] 其中 \(\hat{u}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^n}u(x)e^{-ix\cdot\xi}dx\). 因此, 对于 \(|\alpha|=2\), 我们可以利用上述性质得到 \[ \widehat{D^\alpha u}(\xi)=(i\xi)^\alpha \hat{u}(\xi) =- \frac{(i\xi)^\alpha}{|\xi|} \widehat{\Delta u}(\xi), \] 从而可以得到 \[ \|\widehat{D^\alpha u}\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} \leq \|\widehat{\Delta u}\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}. \] 因为 Fourier 变换是 \(L^2\) 空间上的同构算子, 我们可以得出如下估计 \[ \|D^\alpha u\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} \leq \|\Delta u\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\quad \forall |\alpha|=2. \]

有界区域

通常我们可以根据有界的 Lipschitz 的不同得到相应的正则性结果:

  1. 如果 \(\Omega\) 具有光滑边界, 那么正则性估计 (3) 成立.
  2. 如果 \(\Omega\) 是凸的多边形区域, 估计 (3) 同样成立 [3, Grisvard 2010].
  3. 对于一般的有界区域, [2, Dauge 1988] 证明了下面的正则估计 \[ \|v\|_{W^{2,p}(\Omega)}\leq \|\Delta v\|_{L^p(\Omega)}, \quad p\in(1,\mu), \] 其中 \(\mu\) 只依赖于区域的边界 \(\partial \Omega\).
  4. 对于一个一般的多边形区域, 通常有如下估计 \[ \|u\|_{H^{1+s}(\Omega)} \leq C \|f\|_{L^2(\Omega)}, \] 其中 \(s < \min_{j} \frac{\pi}{\omega_j}\), \(j=1,\ldots,M\). \(M\) 是角的个数且 \(\omega_j\) 内角大小.

常见实例

我们给出一些具体方程示例, 以表明上面给出的正则性结果是准确的. 这些方程经常被用做模型问题, 验证相关数值方法的收敛性.

例 1. 令 \(\Omega\) 为一个角度为 \(\pi/\beta\) 的圆盘的一个扇面:\[ \Omega:= \left\{ (r,\theta): 0<r<1,\ 0 < \theta < 3\pi/2 \right\}\] 注意, \(\Omega\) 不是一个凸区域并且原点处的内角为 \(3\pi/2\). 给定函数\[ v(r,\theta)=r^{2/3}\sin(2\theta/3),\] 这是一个 \(\Omega\) 上的调合函数. 定义 \(u=(1-r^2)v\), 那么 \(u_{|\partial \Omega}=0\) 并且可以验证\[ \Delta u = (1-r^2) \Delta v+ 2 \nabla (1-r^2) \cdot \nabla v +v \Delta (1-r^2) = -4r \frac{dv}{dr} -4v = -(8/3+4) v.\] 因此, 可知 \(\Delta u\in L^2(\Omega)\). 但是 \(u\notin H^2(\Omega)\), 事实上, \(u\in H^{5/3-\epsilon}(\Omega)\), \(\forall \epsilon>0\). 这个结果与上节中的情形 4 是相符的.

例 2. 考虑如下方程\[ \begin{equation}\begin{split} -\nabla\cdot (A\nabla u) &= f \quad \text{in }\Omega,\\ u&=0,\quad \text{on }\partial \Omega.\end{split}\tag{4}\end{equation}\] 其中间断系数 \(A\) 定义在单位方形区域 \(\Omega=[0,1]^2\) 上, 在第一和第三象限上系数 \(A=K_1\) 且在第二和第四象限上 \(A=K_2\). 那么当 \(f=0\) 时方程 (4) 的精确解定义如下\[ u(r,\theta) = r^{\gamma}v(\theta)\] 其中 \(\gamma\in (0,1]\) 且\[ \begin{equation*} v(\theta) = \begin{cases} \cos((\pi/2-\sigma)\gamma) \cos((\theta-\pi/2+\rho)\gamma),\quad & 0\leq \theta \leq \pi/2,\\ \cos(\rho\gamma) \cos((\theta-\pi+\sigma)\gamma),\quad & \pi/2\leq \theta \leq \pi,\\ \cos(\sigma\gamma) \cos((\theta-\pi-\rho)\gamma),\quad & \pi\leq \theta \leq 3\pi/2,\\ \cos((\pi/2-\rho)\gamma) \cos((\theta-3\pi/2-\sigma)\gamma),\quad & 3\pi/2\leq \theta \leq 2\pi. \end{cases} \end{equation*}\] 参数 \(\gamma, \rho, \sigma\) 满足如下的非线性方程\[ \begin{align*} &R:=K_1/K_2 = -\tan ((\pi/2-\sigma)\gamma)\cot(\rho\gamma),\\ &1/R = -\tan(\rho\gamma)\cot(\sigma\gamma),\\ &R = -\tan(\rho\gamma)\cot((\pi/2-\rho)\gamma),\\ &0<\gamma<2,\\ &\max\{0,\pi\gamma-\pi\} \leq 2\gamma\rho <\min \{\pi\gamma,\pi\},\\ &\max\{0,\pi-\pi\gamma\} \leq -2\gamma\sigma <\min \{\pi,2\pi-\pi\gamma\},\end{align*}\] 可以证明 \(u\) 属于空间 \(H^{1+\gamma-\epsilon}\), \(\forall \epsilon>0\). 具体地参数可以进行如下选取 [3]:\[ \gamma=0.1,\ R=K_1/K_2\approx 161.4476387975881,\ \rho=\frac{\pi}{4},\ \sigma\approx -14.92256510455152.\] 从而, 可以令 \(K_1=161.4476387975881\) 且 \(K_2=1\). 下图是我们利用 Python+Matplotlib 画出的真实解的等高线图像, 可以清楚地看到解在原点的奇异性.

例2解的图像.

参考

[1] Brenner, S. C., & Scott, L. R. (2008). The Mathematical Theory of Finite Element Methods (Third).
[2] Dauge, M. (1988) Elliptic Boundary Problems on Corner Domains. Lecture Notes in Math. v.1341, Springer-Verlag, Berlin, 1988.
[3] Grisvard, P. (2011). Elliptic Problems in Nonsmooth Domains.
[4] Morin, P., Nochetto, R. H., & Siebert, K. G. (2002). Convergence of adaptive finite element methods. SIAM Review, 44(4), 631–658.


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