Fourier 变换和 Laplace 变换

引言

拉普拉斯变换是为了纪念伟大的法国数学家皮埃尔-西蒙-德-拉普拉斯（Pierre Simon De Laplace, 1749-1827 年）而命名的.

拉普拉斯变换是数学中广泛使用的积分变换, 在科学和工程领域有许多应用. 拉普拉斯变换可解释为从输入和输出均为时间函数的时域到输入和输出均为复角频率函数的频域的变换. 拉普拉斯变换方法在现代工程系统分析和设计中发挥着重要作用. 拉普拉斯变换的概念被应用于科学和技术领域, 如电路分析、通信工程、控制工程和核物理等[2].

在本文中, 我们将首先介绍傅立叶变换, 然后说明傅立叶变换和拉普拉斯变换之间的关系. 最后, 介绍拉普拉斯变换的一些特性和应用.

Fourier 变换

首先回顾一下 Fourier 变换的定义. 若 \(f(t)\) 是一个定义在区间 \([-\pi,\pi]\) 上函数, 其 Fourier 级数为\[ f(t) = \frac{1}{\pi} \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos (nt)+ \frac{1}{\pi} \sum_{n=0}^{\infty} b_n \sin (nt),\]其中 \(a_n = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos (nt) dt \) 且 \(b_n = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\sin (nt) dt\). 我们看到函数 \(f(t)\) 可以完全由系数 \(a_n\) 和 \(b_n\) 决定.

为了将 Fourier 系数写成更加简洁的形式, 定义复数 \(f_n := a_n-\imath b_n\), 即,\[ f_n = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos (nt) dt – \imath \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\sin (nt) dt =\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-\imath n t} dt.\tag{1}\]

如果 \(f(t)\) 定义在无穷区间 \([-\infty ,\infty ]\) 上, 且 \(n\) 为实数, 就得到 Fourier 变换\[ \hat{f}(\xi)=[\mathcal{F}f](\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\imath \xi t}f(t) dt, \tag{2a}\]这个级数由 \(f(t)\) 唯一决定, 反过来也是一样的. 我们称 \(f(t)\) 为时域函数, \(\hat{f}(\xi)\) 为频域函数. 逆 Fourier 变换定义为\[ f(t)=[\mathcal{F}^{-1}\hat{f}](t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\imath \xi t}\hat{f}(\xi) d \xi. \tag{2b}\]

引理 1 (Parseval 等式). 令 \(f\) 和 \(g\) 为可积函数, 并且令 \(\hat{f}\) 和 \(\hat{g}\) 为对应的 Fourier 变换. 若 \(f\) 和 \(g\) 也是平方可积的, 那么就有 Parseval 等式成立:\[ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\overline{g(t)}dt = \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)\overline{\hat{g}(\xi)}d \xi.\tag{3}\]

证明.\[ \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\overline{g(t)}dt &=\int_{-\infty}^{\infty}f \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \overline{\int_{-\infty}^{\infty} \hat{g}(\xi)e^{\imath \xi t}d \xi} d t\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{\hat{g}(\xi)}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-\imath \xi t}d t d\xi \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{\hat{g}(\xi)} \hat{f}(\xi) d\xi . \end{align*}\]证明结束. \(\heartsuit\)

引理 2 (微分). 令 \(f(t)\) 为绝对连续可积函数, 且 \(f\) 和它的 Fourier 变换 \(f’\) 都是可积的. 那么\[ \widehat{f’}(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\imath \xi t}f'(t) dt =\imath \xi \hat{f}(\xi). \tag{4}\]

例 1 ([6]). 利用 Fourier 变换证明 Dirichlet 积分 \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}dx=\frac{\pi}{2}\).

证明. 定义\[ f(t) = \begin{cases} 1,&|t|<1,\\ 0,&|t|>1. \end{cases}\]显然, \(f \in L^2\) 且其 Fourier 变换为\[ \hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\imath \omega t} dt =\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\frac{\sin \omega}{\omega}.\]因此, 利用逆 Fourier 变换可得\[ f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty }^{\infty} \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\frac{\sin \omega}{\omega}e^{\imath \omega t}d\omega =\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty}\frac{\sin \omega \cos \omega t}{\omega} d \omega.\]取 \(t=0\) 就得到所证积分成立.\(\heartsuit\)

例 2 (椭圆方程的正则性估计). 如果假定区域是整个 \(n\) 维空间, 那么我们可以很容易的利用 Fourier 变换得到如下的正则性结果 (见 [Brenner and Scott, 2008]):\[ \left| u \right|_{H^2(\mathbb{R}^n)}\leq C \|f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}. \tag{3}\]

事实上, 我们注意到 Fourier 变换可以对角化微分算子, 即:\[ \widehat{D^\alpha u}(\xi)=(i\xi)^\alpha \hat{u}(\xi),\]
其中 \(\hat{u}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^n}u(x)e^{-ix\cdot\xi}dx\). 因此, 对于 \(|\alpha|=2\), 我们可以利用上述性质得到\[ \widehat{D^\alpha u}(\xi)=(i\xi)^\alpha \hat{u}(\xi) =- \frac{(i\xi)^\alpha}{|\xi|} \widehat{\Delta u}(\xi),\]从而可以得到\[ \|\widehat{D^\alpha u}\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} \leq \|\widehat{\Delta u}\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}.\]
因为 Fourier 变换是 \(L^2\) 空间上的同构算子, 我们可以得出如下估计\[ \|D^\alpha u\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} \leq \|\Delta u\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\quad \forall |\alpha|=2.\]

Laplace 变换

定义 1. 令 \(s=\eta+\imath \xi, \eta>0\), 函数 \(f(t), t>0\) 的 Laplace 变换定义如下\[ (\mathcal{F}f)(s):=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t) dt. \tag{5}\]

与 Fourier 变换之间的关系. 可积函数 \(f(t)\) 的 Fourier 变换是存在的. 若 \(f\) 在区间 \((0,\infty)\) 上不可积, 我们可以乘以速降函数 \(e^{-\eta t}, \eta>0\) 让其变成一个可积函数. 那么, 新的函数\[ f_\eta(t):=\begin{cases} e^{-\eta t}f(t),&t\geq 0, \\ 0,&t<0 \end{cases}\]的 Fourier 变换显然是存在的, 就是如下的等式\[ (\mathcal{F}f_\eta)(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\imath \xi t}f_\eta(t) dt =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty}e^{-\imath \xi t}e^{-\eta t}f(t) dt,\]引入参数 \(s=\eta+\imath \xi\) 可得\[ (\mathcal{F}f_\eta)(\xi) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t) dt .\]上面的等式说明, Fourier 变换和 Laplace 之间具有如下的关系\[ (\mathcal{F}f_\eta)(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} (\mathcal{L}f)(s). \tag{6}\]

Laplace 逆变换可以由 Fourier 逆变换得到. 事实上, Fourier 逆变换表明\[ f_{\eta} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}e^{\imath\xi t}(\mathcal{F} f_\eta)(\xi) d\xi = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}e^{\imath\xi t}(\mathcal{L} f)(\eta+\imath \xi) d\xi,\]由 \(f_\eta\) 的定义可知\[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}e^{(\eta+\imath\xi) t}(\mathcal{L} f)(\eta+\imath \xi) d\xi. \tag{7}\]

引理 3 (Parseval 等式). 令 \(f\) 为可积函数, 对应的 Parseval 等式表明:\[ \int_{-\infty}^{\infty}|f_\eta(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty}|(\mathcal{F}f_{\eta})(\xi)|^2d \xi,\]即\[ \int_{0}^{\infty}e^{-2\eta t}|f(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|(\mathcal{L}f)(\eta+\imath\xi)|^2d \xi. \tag{8a}\]上面的等式表明, 在有限时间区间内 \((0,T)\), 如下的不等式成立\[ \int_{0}^{T}|f(t)|^2 dt \leq \frac{e^{2\eta T}}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|(\mathcal{L}f)(\eta+\imath\xi)|^2d \xi. \tag{8b}\]

引理 4 (微分性质). 令 \(f(t)\) 为绝对连续可积函数, 且 \(f\) 和其导数 \(f’\) 都可积. 那么\[ (\mathcal{L}f’)(s) = s (\mathcal{L}f)(\xi)-f(0).\tag{9}\]

Laplace 变换的应用

例 3. 求解如下方程\[ f^{”}+3f’+2f =0,\quad f(0)=1, \ f'(0)=0.\]

解. 对方程两边应用 Laplace 变换\[ 0=s\mathcal{L}(f’)-f'(0)+3 s\mathcal{L}f-3f(0) + 2\mathcal{L}f\\ =s(s\mathcal{L}(f)-f(0))+3 s\mathcal{L}f-3 + 2\mathcal{L}f\\ =(s^2+3s+2) \mathcal{L}f – s-3.\]如上的代数方程相比原来的常微分方程来说更加简单. 容易看出\[ \mathcal{L}f = \frac{s+3}{s^2+3s+2} = \frac{2}{s+1}+\frac{-1}{s+2}.\]因此,\[ f(t)=\mathcal{L}^{-1}\left( \frac{2}{s+1} \right)+\mathcal{L}^{-1}\left( \frac{-1}{s+2} \right) =2e^{-t}-e^{-2t}.\]\(\heartsuit\)

例 4 求单位跃阶函数及其导数的 Laplace 变换.

解. 该问题是电路分析中的一个基本问题. 单位跃阶函数及其导数为\[ u(t)=\begin{cases} 0,t<0\\ 1,t>0. \end{cases},\quad \frac{du}{dt} = \delta(t),\]其中 \(\delta(t)=0\) 当 \(t\neq 0\) 时, 且 \(\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1\). 由 Laplace 变换的定义可知\[ (\mathcal{L}u)(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}dt = \frac{1}{-s}e^{-st}|_0^{\infty} = \frac{1}{s},\\ (\mathcal{L}\delta)(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\delta(t)dt = e^{-s0} = 1.\]值得注意的是上面 \(\delta\) 函数的定义并不严谨, 但是在工程应用领域中非常见. 严格的数学定义如下\[ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-a)\phi(t)dt=\phi(a) \tag{10}\]对所有的连续函数 \(\phi(t)\) 都成立. 因此, \(\delta(t)\) 应用理解为一个广义函数或者一个分布 (a generalized function or distribution) [9, 1.59]. \(\heartsuit\).

Laplace 变换表

\[ \begin{align*} \mathcal{L}1 &= \frac{1}{s},\\ \mathcal{L}t &= \frac{1}{s^2},\\ \mathcal{L}e^{at} &= \frac{1}{s-a},\\ \mathcal{L}(te^{at}) &= \frac{1}{(s-a)^2},\\ \mathcal{L}(\cos \omega t) &= \frac{s}{s^2+\omega^2},\\ \mathcal{L}(\sin \omega t) &= \frac{\omega}{s^2+\omega^2}. \end{align*}\]

参考文献

[1] https://www.electrical4u.com/laplace-transformation/
[2] https://web.stanford.edu/~boyd/ee102/laplace.pdf
[3] L.S. Sawant. APPLICATIONS OF LAPLACE TRANSFORM IN ENGINEERING FIELDS. 2018.
[4] Sarina Adhikari. LAPLACE TRANSFORMS AND ITS APPLICATIONS.
[5] [Heinz-Otto Kreiss, Jens Lorenz. Initial-Boundary Value Problems and the Navier-Stokes Equations. SIAM, 2004.
[6] 赵天玉,洪云飞,陈忠.Dirichlet积分的计算方法[J].长江大学学报(自科版),2014,11(19):9-10+36+3.DOI:10.16772/j.cnki.1673-1409.2014.19.001.
[7] H. Bateman, Tables of Integral Transforms. I. 1954. (McGraw-Hill).
[8] 刘德全,周国清.基于Laplace变换的RLC电路特性研究与仿真[J].实验技术与管理,2017,34(10):108-111.DOI:10.16791/j.cnki.sjg.2017.10.027.
[9] R. A. Adams and J. J. F. Fournier, Sobolev Spaces, vol. 15. 2003.