弦或薄膜上的波动方程的建立
物理背景
考虑一条绷紧的琴弦, 当我们把弦中间的某点拉起一小段距离, 而后放开令其自由振动, 那么弦的运动规律近似满足波动方程.
假设
由前面的物理现象, 我们需要对弦振动模型做一个模型假设:
- 弦是细长且柔软的, 其自身形变不会对振动产生阻力 (弦的张力总是沿切线方向);
- 弦是振动微小的 (切线与水平方向的夹角 \alpha 很小, \sin \alpha \approx \tan \alpha).
- 弦是密度 \rho 恒定的;
物理定律
牛顿第二定律 \mathbf{F} = m \mathbf{a}, \tag{1}表明动量定理: 物体所受冲量等于该物体的动量变化, 即 \mathbf{F} \Delta t = m \Delta \mathbf{v}. \tag{2}
一维波动方程
考虑弦上 [x,x+\Delta x] 区间内的受力情况. 弦长近似满足 \Delta s = \int_{x}^{x+\Delta x}\sqrt{1+[u'(x)]^2} dx = \int_{x}^{x+\Delta x}1+\frac{[u'(x)]^2}{2}-\frac{[u'(x)]^4}{8}+O([u'(x)]^6) dx \approx \Delta x.在弦振动过程中, 弦长并未变化, 也就说弦上任意点 x 处的张力不会变化, 设为 T(x).
横向力满足 - T(x) \cos \alpha_1 + T(x+\Delta x) \cos \alpha_2 = 0, 由假设 2 可知 T(x)=T(x+\Delta x), \tag{2}即任意点处的张力相同, 记为 T.
纵向力表示如下: – T(x) \sin \alpha_1 +T(x+\Delta x) \sin \alpha_2 = – T \frac{\partial u}{\partial x} (x) +T \frac{\partial u}{\partial x} (x+\Delta x). \tag{3}由动量定理 (2) 可知 \int_{t}^{t+\Delta t} T \left[ \frac{\partial u}{\partial x} (x+\Delta x,t) – \frac{\partial u}{\partial x} (x,t) \right] =\int_{x}^{x+\Delta x}\rho \left[ \frac{\partial u}{\partial t} (x,t+\Delta t)-\frac{\partial u}{\partial t} (x,t) \right],进一步可以写成 \int_{t}^{t+\Delta t} \int_{x}^{x+\Delta x} T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (x,t) =\int_{t}^{t+\Delta t} \int_{x}^{x+\Delta x} \rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} (x,t). \tag{4a}由 \Delta x, \Delta t 的任意性可得如下波动方程 T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (x,t) =\rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} (x,t). \tag{4a}
二维波动方程
取 xy-平面上的薄膜微元 \Delta S, 边界为 \Gamma, 平面上的外法微量为 \textbf{n}. 类似于一维问题, 纵向力表示如下: \int_{\Gamma} T \frac{\partial u}{\partial \textbf{n}},从而动量定理表明 \int_{t}^{t+\Delta t} \int_{\Gamma} T \frac{\partial u}{\partial \textbf{n}} =\int_{\Delta S} \rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} (x,y,t+\Delta t)-\frac{\partial u}{\partial t} (x,y,t) \right).由格林公式或散度定理可知 \int_{t}^{t+\Delta t} \int_{\Delta S} T \left( \frac{\partial u^2}{\partial x^2}+\frac{\partial u^2}{\partial y^2} \right) =\int_{t}^{t+\Delta t}\int_{\Delta S} \rho \frac{\partial u^2}{\partial t^2} (x,y,t).同样地, 我们可以得到二维的波动方程 \frac{\partial u^2}{\partial t^2} = \frac{T}{\rho}\left( \frac{\partial u^2}{\partial x^2}+\frac{\partial u^2}{\partial y^2} \right).
参考
[1] 谷超豪, 李大潜等. 数学物理方程 (第三版). 高等教育出版社. 2012.
附录
- 平方根函数的泰勒展开 \sqrt{1+x}=1 + \frac{x}{2} – \frac{x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{16} – \frac{5 x^{4}}{128} + \frac{7 x^{5}}{256} – \frac{21 x^{6}}{1024} + O\left(x^{7}\right). \tag{A.1}
- 当弦受到外力时的波动方程. 设弦上受力的线密度为 F(x,t), 其方向垂直于 x 轴. 则在时间段 [t, t+\Delta t] 内产生的总的冲量为 \int_{t}^{t+\Delta t} \int_{x}^{x+\Delta x} F(x,t).因此, 动量定理表明如下方程 T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (x,t) + F(x,t) =\rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} (x,t). \tag{4b}
- 格林公式 \int_{\Omega}\nabla\cdot \mathbf{u} = \int_{\partial \Omega}\mathbf{u} \cdot \mathbf{n}
