弦或薄膜上的波动方程的建立

物理背景

考虑一条绷紧的琴弦, 当我们把弦中间的某点拉起一小段距离, 而后放开令其自由振动, 那么弦的运动规律近似满足波动方程.

假设

由前面的物理现象, 我们需要对弦振动模型做一个模型假设:

1. 弦是细长且柔软的, 其自身形变不会对振动产生阻力 (弦的张力总是沿切线方向);
2. 弦是振动微小的 (切线与水平方向的夹角 \(\alpha\) 很小, \(\sin \alpha \approx \tan \alpha\)).
3. 弦是密度 \(\rho\) 恒定的;

物理定律

牛顿第二定律\[ \mathbf{F} = m \mathbf{a}, \tag{1}\]表明动量定理: 物体所受冲量等于该物体的动量变化, 即\[ \mathbf{F} \Delta t = m \Delta \mathbf{v}. \tag{2}\]

一维波动方程

考虑弦上 \([x,x+\Delta x]\) 区间内的受力情况. 弦长近似满足\[ \Delta s = \int_{x}^{x+\Delta x}\sqrt{1+[u'(x)]^2} dx = \int_{x}^{x+\Delta x}1+\frac{[u'(x)]^2}{2}-\frac{[u'(x)]^4}{8}+O([u'(x)]^6) dx \approx \Delta x.\]在弦振动过程中, 弦长并未变化, 也就说弦上任意点 \(x\) 处的张力不会变化, 设为 \(T(x)\).

横向力满足 \(- T(x) \cos \alpha_1 + T(x+\Delta x) \cos \alpha_2 = 0\), 由假设 2 可知\[ T(x)=T(x+\Delta x), \tag{2}\]即任意点处的张力相同, 记为 \(T\).

纵向力表示如下:\[ – T(x) \sin \alpha_1 +T(x+\Delta x) \sin \alpha_2 = – T \frac{\partial u}{\partial x} (x) +T \frac{\partial u}{\partial x} (x+\Delta x). \tag{3}\]由动量定理 (2) 可知\[ \int_{t}^{t+\Delta t} T \left[ \frac{\partial u}{\partial x} (x+\Delta x,t) – \frac{\partial u}{\partial x} (x,t) \right] =\int_{x}^{x+\Delta x}\rho \left[ \frac{\partial u}{\partial t} (x,t+\Delta t)-\frac{\partial u}{\partial t} (x,t) \right],\]进一步可以写成\[ \int_{t}^{t+\Delta t} \int_{x}^{x+\Delta x} T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (x,t) =\int_{t}^{t+\Delta t} \int_{x}^{x+\Delta x} \rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} (x,t). \tag{4a}\]由 \(\Delta x, \Delta t\) 的任意性可得如下波动方程\[ T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (x,t) =\rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} (x,t). \tag{4a}\]

二维波动方程

取 \(xy\)-平面上的薄膜微元 \(\Delta S\), 边界为 \(\Gamma\), 平面上的外法微量为 \(\textbf{n}\). 类似于一维问题, 纵向力表示如下:\[ \int_{\Gamma} T \frac{\partial u}{\partial \textbf{n}},\]从而动量定理表明\[ \int_{t}^{t+\Delta t} \int_{\Gamma} T \frac{\partial u}{\partial \textbf{n}} =\int_{\Delta S} \rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} (x,y,t+\Delta t)-\frac{\partial u}{\partial t} (x,y,t) \right).\]由格林公式或散度定理可知\[ \int_{t}^{t+\Delta t} \int_{\Delta S} T \left( \frac{\partial u^2}{\partial x^2}+\frac{\partial u^2}{\partial y^2} \right) =\int_{t}^{t+\Delta t}\int_{\Delta S} \rho \frac{\partial u^2}{\partial t^2} (x,y,t).\]同样地, 我们可以得到二维的波动方程\[ \frac{\partial u^2}{\partial t^2} = \frac{T}{\rho}\left( \frac{\partial u^2}{\partial x^2}+\frac{\partial u^2}{\partial y^2} \right).\]

参考

[1] 谷超豪, 李大潜等. 数学物理方程 (第三版). 高等教育出版社. 2012.

附录

1. 平方根函数的泰勒展开\[ \sqrt{1+x}=1 + \frac{x}{2} – \frac{x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{16} – \frac{5 x^{4}}{128} + \frac{7 x^{5}}{256} – \frac{21 x^{6}}{1024} + O\left(x^{7}\right). \tag{A.1}\]
2. 当弦受到外力时的波动方程. 设弦上受力的线密度为 \(F(x,t)\), 其方向垂直于 \(x\) 轴. 则在时间段 \([t, t+\Delta t]\) 内产生的总的冲量为\[ \int_{t}^{t+\Delta t} \int_{x}^{x+\Delta x} F(x,t).\]因此, 动量定理表明如下方程\[ T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (x,t) + F(x,t) =\rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} (x,t). \tag{4b}\]
3. 格林公式\[ \int_{\Omega}\nabla\cdot \mathbf{u} = \int_{\partial \Omega}\mathbf{u} \cdot \mathbf{n}\]