数值分析简介
关于数值分析的基本内容
数值分析, 就课程来说, 它是研究解决一些数学问题的数值算法的学科,包括算法分析, 实现, 精度及稳定性等内容; 本科阶段学习的数值分析课程主要内容有: 插值法和函数逼近理论, 数值积分和数值微分, 解线性方程组的直接方法和矩阵迭代法, 逼近特征值, 非线性方程(组)求根, 常微分方程的数值解法等. 还有的教材会介绍求解偏微分方程的差分和有限元方法, 当然几乎每一块内容都可以单独拉出来写本书. 数值分析的标准教材中都会覆盖这些基本内容, 掌握这些基本内容也就打好基础了, 以后学习数值分析的其它进阶课程就容易入门了. 这门课程要求的基础课程不多, 一般来说, 具备数学分析 (高等数学) 及高等代数 (线性代数) 的基本内容就可以了, 当然还要熟悉至少一门计算机语言.
就数学分支来说, 数值分析有一个更贴切的名字 — 计算数学. 如果想继续学习一些深入内容或者延伸学科 (如微分方程数值解, 计算物理, 计算生物等), 以下数学课程也是必备的: 实分析, 泛函分析, 常微分方程, 偏微分方程等数学基础课程. 这门学科的产生是现代工程技术发展的必然需要，因为有用，所以就很有学习研究的价值.
- 比如数学分析 (高等数学) 中计算微分和积分一般会有直接的计算公式，但很多复杂函数或者超越函数的微分和导数就不那么容易算了，所以这门课程里有一部分内容是介绍数值微分和积分的，用近似解代替精确解，提高效率.
- 在工程, 气象, 有限元等领域会经常出现一些庞大的线性方程组, 高等代数里介绍了求解线性方程组的消去法, 如果方程组是 5 阶或 10 价的用那种方法求解还能接受, 但如果多达万或百万价的方程组就必须求助其它方法了. 数值分析中介绍的矩阵迭代方法就是应对大型方程组的有效方法. 另外, 因为方程组阶数很大, 数据存储就是个问题, 例如一个 23227 阶的矩阵如果全部用双精度 (8 bytes) 存储, 就会占用多达 4GB 内存, 这样的话一般的笔记本是处理不了这样的问题的, 所以这里会涉及到稀疏矩阵的相关知识(当然, 这部分不属于基本内容的范畴).
- 还有, 社会科学研究中常常遇到刻画疾病传播或人口增长的Logistic模型，可以用多种数值方法 (如 Runge-Kutta 方法) 求解数值解来近似代替解析解, 这样也就摆脱了计算解析解的困难. 由于计算机领域的大发展, 新的数值方法不断出现, 其中一些与较成熟的方法比较更有趣, 也更能满足某些特殊的需要.
- 物理学中出现的大量偏微分方程往往不容易找到解析解, 所以就出现了诸如差分法, 有限元及谱方法等优秀的数值方法用来求解方程的近似解, 极大促进了工程技术的发展.
学习这门课程的一些建议:
- 基础为先. 本科要求学习的数值分析课程是将来学习计算数学其它分支的基础, 所以本科阶段的主要任务就是熟悉该课程的基本内容, 尤其要掌握一些重要的数值算法, 以便将来遇到问题知道到哪去查找.
- 重在实践. 数值分析的学习不同于其它理论课程, 它有自己的独特性: 算法的分析与实验验证. 本科遇到的包含算法内容的课程还有最优化理论及运筹学, 这些课程的学习始终离不开上机实验, 所以要有自己擅长的一门计算机语言(最好是 C 或 Fortran ), 另外, 利用诸如 MATLAB 等符号语言做数值验证是非常方便的, 有时候是也是必要的. 如果在本科阶段能学习一下 Linux 就再好不过了.
- 宁缺勿滥. 数学的学习与其它任何学科的学习都一样, 切记贪多嚼不烂这句话, 粗略的看十本好书, 不如深入的学习一本平庸的书. 为了以后方便最好是深入学习一本自己喜欢的经典教材, 直到哪, 带到哪, 省去很多麻烦.
这方面的参考书:
- 李庆扬等, 数值分析(第5版), 清华大学出版社, 2010.
- 蒋尔雄, 赵风光, 数值逼近, 复旦大学出版社, 2008.
- 徐树方等, 数值线性代数(第2版), 北京大学出版社, 2013.
- 宋叶志等, Fortran95/2003科学计算与工程, 清华大学出版社, 2010.
- Richard, numerical analysis(7th)(有影印版,教育部高等教育司推荐,非常适合入门的经典).
- M. T. Heath, 科学计算导论(2th), 清华大学出版社, 2005.
- 杰拉尔德, 应用数值分析(7th), 机械工业出版社, 2006.
- Atkinson, Kendall A. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons.
- Golub, matrix computations(4th)(有人说这是数值线性代数中的圣经, 进阶课程).
- Trefethen, Numerical linear algebra, 也是经典.
