数值分析中的数学家 – 龙格 (C. Runge)

简介

数值分析中的 Runge

Runge 现象

考虑如下的 Runge 函数\[ f(x)= \frac{1}{1+25x^2}.\]Runge 发现如果利用区间 [-1,1] 上的等距节点\[ x_i= -1 + \frac{2i}{n},\quad i=0,1,2,…,n\]构造插值多项式 \(P_n(x)\), 那么它会在趋于区间端点时出现大幅震荡. 理论上可以证明插值误差会随多项式阶数的增加趋于无穷大:\[ \lim_{n\to\infty} \left( \max_{-1\leq x\leq 1}|f(x)-P_n(x)| \right)=\infty.\]这说明了, 采用等距节点构造高阶插值多项式的做法有时并不可取.

Runge-Kutta 方法

Runge-Kutta 方法是一系列隐式和显式迭代方法的总称, 其中包括众所周知的欧拉方法, 它们主要用于常微分方程数值求解. 这些方法是在 1900 年左右由 Carl Runge 和另一位德国数学家 Wilhelm Kutta 提出的. 最著名的 Runge-Kutta 方法通常是指四阶方法, RK4 或者直接称为 Runge-Kutta 方法. 考虑方程\[ y’=f(t,y),\quad y(0)=y_0.\]其中, \(y\) 是关于时间 \(t\) 的标量或向量值函数, 初值 \(y_0\) 是标量或向量常数. 如果我们选取步长 \(h>0, t_{n+1}=t_{n}+h\), 那么 RK4 方法定义为\[ y_{n+1}=y_{n} + \frac{1}{6}h(k_1+2k_2+2k_3+k_4), \quad n=0,1,2,3,…\]其中\[\begin{align*} k_1 &= f(t_n,y_n), && (\text{slope at } t_n, \text{Euler’s Method})\\ k_2 &= f \left( t_n+\frac{h}{2},y_n+h \frac{k_1}{2} \right), && (\text{slope at } t_{n+1/2})\\ k_3 &= f \left( t_n+\frac{h}{2},y_n+h \frac{k_2}{2} \right), && (\text{slope at } t_{n+1/2})\\ k_4 &= f \left( t_n+h,y_n+h k_3 \right). && ((\text{slope at } t_{n+1}))\end{align*}\]

传记

Carl Runge 的父母是 Julius Runge (朱利叶斯) 和 Fanny Tolmé (范妮). Julius Runge 来自一个商人家庭, Fanny Tolmé 是住在哈瓦那的英国商人Charles David Tolmé的女儿, 他们于 1846 年 5 月 16 日在 Havana (哈瓦那) 结婚. Carl 是他父母四个儿子中的第三个, 婚姻中还有四个女儿. 虽然卡尔出生在不来梅, 但他早年在哈瓦那度过. Carl 总是和他母亲关系很近, 他的成长过程就是一个典型的英国孩子. 事实上，Julius 和 Fanny 在家里说英语, 所以孩子们在成长过程中以英语为第一语言. Julius 退休后, 家人回到不来梅永久居住, 但 Julius 只有短暂的退休时间, 因为他于1864年1月18日去世. Fanny 独自抚养这八个孩子.

Carl 进入了不来梅的中学并于1875年通过了毕业考试. 1875 年离开学校后, Carl Runge 与母亲一起参观了意大利的文化中心六个月. 回到德国后, 于 1876 年复活节就读于慕尼黑大学学习文学和哲学. 他的三个哥哥对从事学术生涯不感兴趣, 都选择了进入商界. 然而，Runge作为文学学生的职业生涯在经历了六周的短暂课程后, 他转向了数学和物理. Runge 和同学 Max Planck (普朗克 1858-1947, 就是下图中这个英俊的男人!) 一起参加课程, 他们成为了亲密的朋友, 终身如此.

1877 年秋天，Planck 和 Runge 都去了柏林, 但 Runge 在参加了 Karl Weierstrass’s (卡尔·魏尔斯特拉斯) 的讲座后转向了纯数学, 后来 Weierstrass 也是他博士期间的导师之一. 他并不认为 Kirchhoff 和 Helmholtz 的数学物理讲座特别有吸引力. 但另一方面, 他喜欢 Ernst Kummer 和 Weierstrass 的课程. 虽然 Runge 致力于纯数学研究, 但他并没有失去最初的对哲学的兴趣. 1878-79 年冬季学期, 他参加了 Friedrich Paulsen (弗里德里希·保尔森) 关于 David Hume (大卫·休谟) 的课程. Paulsen 刚刚被任命为柏林的杰出教授, Runge 对他评价非常高. 他写道, Paulsen 是两个对自己影响最大的人之一:

…… to whom I owe the best of my knowledge and ability. 我最好的知识和能力都是因为他.

他的博士论文于 1880 年 6 月 23 日提交给柏林大学, 涉及微分几何学. 论文的标题是Über die Krümmung, Torsion und geodätische Krümmung der auf einer Fläche gezogenen Curven, 并由 Ferdinand Rudio, W Sachse 和 Adolf Piltz 进行了审查, 他们是 Kummer (库默尔, 1810.1.29-1893.5.14) 和 Weierstrass 的博士生. 尽管 Weierstrass 是他的顾问, 但并不是他提出 Runge 的论文主题; 相反, 这是他与其他学生讨论的结果, 不过 Weierstrass 积极参与了这些讨论.

在 1880-81 年期间有资格成为高中教师后, 他完成了必要的考试, 并返回柏林, 在那里他开始与 Kronecker (利奥波德·克罗内克, 1823-1891) 合作. 后来, Runge 研究了代数方程的数值解方法，这些方程的根可以表示为系数为有理函数的无穷级数的形式. 这些方程的数值解有三种标准方法, 即 Newton (牛顿), Bernoulli (伯努利) and Gräffe (格拉夫), Runge 找到的方法使这三种标准方法都成为特殊情况. 他将这些结果包含在1883年2月提交给柏林的 Habilitation (在德国大学授课所需的额外博士后资格) 论文中. 这使他有权在柏林大学授课, 在那里, 他作为围绕 Kronecker 成立的数学家团体的一员, 继续研究代数和函数理论.

Runge 在职业生涯的这个阶段几乎没有发表什么文章, 但在 1884 年 9 月在斯德哥尔摩访问Mittag-Leffler (米塔格-莱弗勒) [1] 后, Mittag-Leffler 说服了他写下他的成果. 在这种鼓励下, 他写了一些论文, 并于 1885 年在 Mittag-Leffler 的期刊 Acta Mathematica 上发表.

柏林最令人印象深刻的教授之一是数学家 Paul du Bois-Reymond 的哥哥 Emile du Bois-Reymond (埃米尔·杜布瓦-雷蒙德). Emile du Bois-Reymond 对生理学、医学和哲学感兴趣, 并于 1880 年在柏林科学院发表了著名的演讲, 他在演讲中列出了七个迷题, 他宣称, 科学无法解释这些谜语. 他们包括物质和力量的终极性质, 运动的起源, 生命的起源以及自由意志的问题. Runge 与 Emile du Bois-Reymond 的家人, 特别是他的孩子变得友好起来. 他于 1885 年与 Aimée du Bois-Reymond 订婚, 但她的父亲从小成为敬虔主义者, 观点严格, 他说在 Runge 获得教授职位之前不允许他们结婚. 幸运的是, 这并不是一个长久的障碍, 在 1886 年 3 月 Runge 成为汉诺威的 Technische Hochschule (工学院) 获得了一个职位. 他于 1887 年 8 月与 Aimée 结婚, 并在汉诺威呆了18年. Paschen（与Runge合作了七年，见下文）写了 Runge 和他在汉诺威的家庭生活:

他们有四个女儿和两个儿子，其中一个在战争[第一次世界大战]中丧生. 兰格在汉诺威的家……永远不会被那些有幸进入的人忘记. 这个家庭培养了许多科学和艺术家. Runge 自己弹钢琴, 他和他的孩子们经常演奏音乐经典, 如《Matthäus Passion》. Runge 是一个风流倜傥的人, 很有个人魅力. 他喜欢各种运动, 练习骑自行车、体操和游泳. 在汉诺威, 他习惯每天骑自行车往返于他的房子和 Technische Hochschule 之间, 距离大约是八公里. 在他的所有活动中, 他把科学的东西放在首位, 并愿意为了科学事物的进步而牺牲一切.

在汉诺威担任教授一年内, Runge 就从纯数学转向研究氢以外的元素的光谱线波长. 事实上, Runge 对这个课题的兴趣来自于 Emile du Bois-Reymond, 就在 Runge 娶他女儿的前一年. Du Bois-Reymond 出席了 Heinrich Kayser (海因里希·凯泽) 在柏林学院举办的关于这个主题的讲座, 他对此很感兴趣, 在 Kayser 于 1885 年秋季被任命为 Hannover Technische Hochschule (汉诺威工学院) 的物理学教授后, 这三个人开始一起解决这个问题. Kayser 和 Runge 七年间在《柏林科学院院刊》上发表了七篇联合论文. 这些文件篇幅超过 350 页, Runge 做出了重要贡献.

Runge 做了很多实验工作, 并发表了大量结果. 他成功地将氦的光谱线排列成两个光谱级数, 直到1897 年, 这被认为是氢是两种元素混合物的证据. 在与 Kayser 合作七年后, Kayser 于 1894 年离开汉诺威并在波恩大学担任物理学教授. 这是由于 Heinrich Hertz (海因里希·赫兹, 1857－1894, 频率的国际单位就是以他命名的) 在 36 岁时死于血液中毒而空出的职位. Runge 独自继续他的光谱学工作六个月后, 说服了 Friedrich Paschen (弗里德里希·帕邢, 1865-1947, 1908 年发现了氢原子光谱的帕邢系) 加入他. Paschen 是一名实验家, 他们在汉诺威一起工作了七年. Runge 于 1895 年访问了英国, 并与 Rayleigh 勋爵 [2] 成为了朋友.

1901 年, Paschen 被任命为蒂宾根大学物理学教授而离开汉诺威. 在这个阶段, Runge 继续与Julius Precht 合作, 他之前曾在 Heidelberg (海德堡) 担任过理论物理学杰出主席. 有趣的是, 为什么 Runge 在汉诺威的工学院会呆了这么久, 而其他人则被任命为更负盛名的职位. 原因几乎可以肯定的是 Runge 不适合. 一方面, 他被许多离开了数学领域去从事物理研究的人认为是数学的叛徒. 然而, 物理学家认为 Runge 是数学家, 不适合在任何一个顶尖机构中担任物理学教授. 值得一提的是, 在这一点上 Runge 一直认为自己是数学家. 1904 年, Klein (克莱因) 说服哥廷根为 Runge 提供应用数学教授职位, Runge 于同年 10 月担任该职位一直到 1925 年退休 [3]:

在哥廷根，他被聘从事应用数学的教学和研究. 期间, 他制定了许多数值和图形方法, 给出了微分方程的数值解等等, 是将这种数学引入德国的先驱.

在 Göttingen (哥廷根), Runge 高度参与教学, 较少从事研究. 他于 1908 年出版了《Analytische Geometrie der Ebene》, 并于 1924 年与 H König 合著了《Vorlesungen über numerisches Rechnen》一书. 1909 年 10 月至 1910 年 1 月，他在纽约哥伦比亚大学讲授图形方法, 1909-1910年担任德国历史和机构的 Kaiser Wilhelm (凯撒·威廉) 教授.

Runge 于 1923 年达到 68 岁的退休年龄, 但他继续管理他的研究所, 直到他的继任者 Gustav Herglotz 于 1925 年到达. 然而, 我们应该注意到, 当 Herglotz 接任时, 教授职位的名字不再是 “应用数学”.

我们在上面注意到, Runge 非常喜爱运动, 即使随着年龄的增长他仍然是一个健康活跃的人. 在他 70 岁生日那天, 他通过倒立来娱乐他的孙子们. 在数学上他仍然积极参与几个雄心勃勃的项目. 然而六个月后, 他心脏病发作并死亡.

注
[1] Gösta Mittag-Leffler（1846-1927）作为科学家和企业家发挥了非常重要的作用. 他被认为是瑞典数学之父, 由于他在科学、商业和艺术方面的广泛国际联系网络, 他的影响力远远超出了他选择的领域. 他帮助玛丽·居里两次获得诺贝尔奖. Mittag-Leffler 的主要成就之一是创办了由 Mittag-Leffler 研究所和瑞典皇家科学院出版的 Acta Mathematica 数学顶刊. 更多关于他的内容可以查阅 Arild Stubhaug 的传记著作: Stubhaug, A. . (2010). Gösta Mittag-Leffler. A man of conviction. Translated by Tiina Nunnally.
[2] 瑞利原名约翰·威廉·斯特拉特 (John William Strutt), 尊称瑞利男爵三世 (Third Baron Rayleigh), 1842-1919. 罗利勋爵是一位研究波理论的英国科学家. 他成为剑桥大学卡文迪什物理学教授, 并因发现气体氩而获得诺贝尔奖.
[3] F Paschen, Carl Runge, Astrophysical Journal 69 (1929), 317-321.

参考

1. Carl David Tolmé Runge. MacTutor.

更多了解

• 常微分方程初值问题: 若干数学模型.
• 常微分方程初值问题: Euler 法.
• 插值方法的基本概述和讨论.