Sobolev 空间: 差商 (Difference quotients)

基础知识

预备知识:

• Banach 空间; 线性泛函;
• 自反空间 \(L^p(U),1< p<\infty \);
• 弱收敛性;

差商是导数的近似, 与弱导数或经典导数有非常密切的联系, 经常用来证明偏微分方程的弱解具有更高的可微性或正则性. 令 \(U\subset \mathbb{R}^n\) 为一个开集. 记 \(x_i\) 方向上的单位向量为 \(\mathbf{e}_i\), 对应的差商定义如下\[ D_i^h u(\mathbf{x}) = \frac{u(\mathbf{x}+h\mathbf{e}_i)-u(\mathbf{x})}{h},\quad h\neq 0. \tag{1}\]另外, 我们定义 \(D_i u=\frac{\partial u}{\partial x_i} \).

主要结论

引理 1. 令 \(u\in W^{1,p}(U)\). 那么对任意 \(V\subset \subset U\), 都有 \(D_i^h u \in L^p(V)\), 其中 \(h<\mathrm{dist}(V, \partial U)\); 并且如下估计成立\[ \|D_i^h u\|_{L^p(V)} \leq \|D_iu\|_{L^p(U)}. \tag{2}\]

证明. 首先假设 \(u\in C^1(U)\cap W^{1,p}(U)\). 则\[\begin{align*} D_i^h u(\mathbf{x}) &= \frac{u(\mathbf{x}+h\mathbf{e}_i)-u(\mathbf{x})}{h} \\ &= \frac{1}{h}\int_{0}^h D_i u(\ldots, x_i+\xi, \ldots ) d \xi.\end{align*}\]利用 Holder 不等式可得\[ |D_i^h u(\mathbf{x})|^p \leq \frac{1}{h}\int_{0}^h |D_i u(\ldots, x_i+\xi, \ldots )|^p d \xi,\]因此\[ \int_{V} |D_i^h u(\mathbf{x})|^p d \mathbf{x} \leq \frac{1}{h}\int_{0}^h \int_{V} |D_i u(\ldots, x_i+\xi, \ldots )|^p d \mathbf{x} d \xi \leq \int_{U}|D_i u(\mathbf{x})|^p d \mathbf{x}. \tag{3}\]那么, 估计式 (2) 是稠密论证的一个直接结果. \(\heartsuit\)

引理 2. 令 \(u\in L^p(U), 1< p<\infty\) 且 \(V\subset \subset U\). 假设存在一个常数 \(K\) 满足 \(D_i^h u\in L^p(V)\) 且对所有满足 \(h<\frac{1}{2}\mathrm{dist}(V, \partial U)\) 的 \(h\) 都有 \(\|D_i^hu\|_{L^p(V)}\leq K\). 那么, 弱导数 \(D_iu\in L^p(V)\) 存在并且 \(\|D_i u\|_{L^p(V)}\leq K\).

证明. 由 \(L^p(V)\) 空间中有界集合的弱紧性, 存在一个趋于零的子列 \(\left\{ h_m \right\}\) 使得 \(D_i^{h_m}u\) 弱收敛到 \(v_i\in L^p(V)\). 所以, 对任意 \(\phi\in C^\infty_0(V)\), 有下式成立\[ \begin{align*} \int_{V}u D_i \phi d\mathbf{x}=\int_{U}u D_i \phi d\mathbf{x} &= \lim_{m \to \infty} \int_{U}u D_i^{h_m}\phi d\mathbf{x} && (\text{利用经典导数的定义})\\ &= \lim_{m \to \infty} – \int_{V} (D_i^{-{h_m}}u) \phi d\mathbf{x} && (\text{利用} (5) \text{式})\\ &= – \int_{V} v_i \phi d\mathbf{x},&& (\text{利用弱收敛性}) \end{align*}\]从而可知 \(D_iu = v_i\) in \(L^p(V)\). \(\heartsuit\)

参考

[1] Gilbarg, D., & Trudinger, N. S. (1998). Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. In Theory and Applications of Partial Differential Equations.
[2] Evans, L. C. (2010). Partial differential equations. In Graduate studies in mathematics (2nd ed.). American Mathematical Society.

附录

Alouglou’s 定理

定理 (Alouglou’s). 一个可分的自反的 Banach 空间中的有界序列必含弱收敛子列.

• 如果一个拓扑空间存在一个可数的稠密子集, 那么它就称为是可分的.
• 一个 Banach 空间如果满足 \((B^*)^* = B\) 那么就称为是自反的.
• 如果 Banach 空间中的序列 \(\left\{ x_n \right\}\) 满足当 \(n\to \infty \) 对所有的线性泛函 \(F\in B^*\) 都有 \( F(x_n) \to F(x)\) 成立, 那么这个序列就称为是弱收敛到 \(x\), 通常记为 \(x_n \rightharpoonup x\).

差商的分部积分公式

引理 3. 给定一个开集 \(V\) 和函数 \(\phi\in C_0^\infty(V)\), 令 \(S:=\text{supp}(\phi)\) 且假设 \(h<\frac{1}{2}\mathrm{dist}(S, \partial V)\). 那么下面的等式成立\[ \int_{V}u D_i^h \phi d\mathbf{x} = – \int_{V} (D_i^{-h}u) \phi d\mathbf{x}. \tag{4}\]

证明.\[\begin{align*} \int_{V}u \frac{\phi(\mathbf{x}+h \mathbf{e}_i)-\phi(\mathbf{x})}{h} d\mathbf{x} &= \int_{S-h \mathbf{e}_i}u \frac{\phi(\mathbf{x}+h \mathbf{e}_i)}{h} d\mathbf{x}-\int_{S}u \frac{\phi(\mathbf{x})}{h} d\mathbf{x} \\&= \int_{S}\frac{u(\mathbf{x}-h \mathbf{e}_i) }{h}\phi d \mathbf{x} – \int_{S}\frac{u(\mathbf{x})}{h}\phi d\mathbf{x} \\&= \int_{V}\frac{u(\mathbf{x}-h \mathbf{e}_i)-u(\mathbf{x}) }{h}\phi d \mathbf{x} \\&= -\int_{V}(D_i^{-h}u)\phi d \mathbf{x} .\end{align*}\]

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