Sobolev 空间: 庞加莱不等式 (Poincaré inequalities)

引言

Sobolev 空间中的 Poincaré 不等式往往在微分方程弱解存在性的证明中扮演一个基础且关键的作用; 如典型的二阶椭圆方程. 我们将考虑空间 \(W^{1,p}_0(U)\) 和 \(W^{1,p}(U)\) 中的两种主要的 Poincaré 不等式并给出证明.

预备知识:

• 迹不等式 (定理);
• 弱收敛;
• 紧嵌入 \(W^{1,p}(U)\subset\subset L^p(U)\), \(1\leq p\leq \infty\);
• Lax-Milgram 引理.

例 1. 考察具有 Dirichlet 边界条件的 Laplace 方程\[ -\Delta u=f,\quad \text{in }U; \quad u=0 \quad \text{on }\partial U.\]弱形式为: 寻找 \(u\in V:=H^1_0(U)\) 满足\[ a(u,v):=(\nabla u, \nabla v) = (f,v) \quad \forall v\in V. \tag{1}\]说明问题 (1) 适定性的基础工具是 Lax-Milgram 引理, 其中对双线性形 \(a\) 的强制性 (coercivity) 要求如下\[ a(v,v) \geq \alpha\|v\|_{H^1(U)}^2 \quad \forall v\in V.\]这个性质可以由如下的 Poincaré 不等式来说明\[ \|v\|_{L^2(U)} \leq C_p \|\nabla v\|_{L^2(U)}\quad v\in H^1_0(U). \tag{2a}\]

例 2. 考察具有 Neumann 边界条件的 Laplace 方程\[ -\Delta u=f,\quad \text{in }U; \quad \frac{\partial u}{\partial n} =0 \quad \text{on }\partial U.\]如果定义如下解空间\[ W := \left\{ v\in H^1(U):\ \int_{U}v dx=0 \right\},\]弱形式可以定义为: 寻找 \(u\in W\) 满足\[ a(u,v) = (f,v) \quad \forall v\in W.\]强制性可以由如下的 Poincaré 不等式来说明\[ \|v\|_{L^2(U)} \leq C_p \|\nabla v\|_{L^2(U)}\quad v\in W. \tag{2b}\]

Poincaré 不等式

引理 1 (Poincaré 不等式, [1]). 令 \(U\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的一个有界连通开集, 具有 \(C^1\) 边界. 假定 \(1\leq p\leq \infty \). 那么存在一个仅仅依赖于 \(n,p\) 和 \(U\) 的正常数 \(C\) 使得下面的估计成立\[ \|u-\bar{u}\|_{L^p(U)} \leq C \|\nabla u\|_{L^p(U)}\quad \forall u\in W^{1,p}(U). \tag{3}\]其中, \(\bar{u}=\frac{1}{|U|}\int_{U}u dx\) 是 \(u\) 的平均.

证明. 利用反证法. 假设对任意的常数 \(k\) 都存在至少一个函数 \(u_k \in W^{1,p}(U)\) 满足\[ \|u_k-\bar{u}_k\|_{L^p(U)} > k \|\nabla u_k\|_{L^p(U)}. \]定义 \(v_k := \frac{u_k-\bar{u}_k}{\|u_k-\bar{u}_k\|_{L^p(U)}}\) 且令 \(k=1,2,3,\ldots \), 可得函数序列 \(v_k\), 其满足\[ \bar{v}_k=0,\quad \|v_k\|_{L^p(U)}=1 \quad \text{且}\quad \|\nabla v_k\|_{L^p(U)}\to 0.\tag{3.1}\]显然, 集合 \(\left\{ v_k \right\}\) 在空间 \(W^{1,p}(U)\) 中是有界的.
一方面, 由紧嵌入关系 \(W^{1,p}(U)\subset \subset L^p(U)\), 可知存在子序列 \(v_{k_j}\) 和一个函数 \(v \in L^p(U)\) 满足在 \(L^p(U)\) 中 \(v_{k_j} \to v\). 因此, (3.1) 表明\[ \|v\|_{L^p(U)}=1 \text{ 且 } \bar{v}=0. \tag{3.2}\]

另一方面, 对任意的 \(\phi\in C_c^\infty(U)\) 都有\[ \int_{U}v \nabla \phi dx = \lim_{k_j \to \infty} \int_{U}v_{k_j} \nabla \phi dx = -\lim_{k_j \to \infty} \int_{U} \nabla v_{k_j} \phi dx = 0,\]即 \(\nabla v =0\) a.e. 因此, \(v\) 是一个常数函数, 但是这个结果与 (3.2) 相矛盾. \(\heartsuit\)

注 1 (Friedrichs’ 不等式). 值得指出, 对于星形区域 (star-shaped domain) 可以由 (Bramble-Hilbert 引理) 或者常数逼近得到相同的估计, 例如, [(4.3.14), 2]:\[ \|u-\bar{u}\|_{W^{1,p}(\Omega)}\leq C(U,n) \left| u \right|_{W^{1,p}(U)}.\tag{4}\]

函数空间 \(W^{1,p}(U)\) 满足如下形式的 Poincaré 不等式.

引理 2 (Poincaré 不等式). 令 \(U\) 为 Lipschitz 区域, \(\Gamma \subseteq \partial U\) 为非空可测子集. 那么, 对所有 \(1\leq p<\infty\) 都存在常数 \(C(U,\Gamma,p)>0\) 满足下面的估计\[ \|u\|_{L^p(U)} \leq C \left( \left| u \right|_{W^{1,p}(U)} + \left| \int_{\Gamma}v ds \right| \right),\quad \forall u\in W^{1,p}(U). \tag{5}\]

证明. 选取 \(u\in W^{1,p}(U)\), 利用 (3) 可知\[ \begin{align*} \|u\|_{L^p(U)} &\leq \|u-\bar{u}\|_{L^p(U)}+ \|\bar{u}\|_{L^p(U)} \\ &\leq C\|\nabla u\|_{L^p(U)}+ \frac{|U|^{1/p}}{|\Gamma|}\left| \int_{\Gamma}\bar{u}ds \right| \\ &\leq C\|\nabla u\|_{L^p(U)}+ \frac{|U|^{1/p}}{|\Gamma|} \left( \left| \int_{\Gamma}u ds \right|+ \left| \int_{\Gamma}u-\bar{u}ds \right| \right) . \end{align*}\]利用迹定理和 (3), 最后一项可以估计如下 (\(1/p+1/q=1\))\[ \begin{align*} \left| \int_{\Gamma}u-\bar{u}ds \right| &\leq \left| \Gamma \right|^{1/q} \|u-\bar{u}\|_{L^p(\Gamma)} \\ &\leq \left| \Gamma \right|^{1/q} C_{tr}\|u-\bar{u}\|_{W^{1,p}(U)} \leq C \|\nabla u\|_{L^{p}(U)} . \end{align*}\]\(\heartsuit\)

参考

[1] Evans, L. C. (2010). Partial differential equations. In Graduate studies in mathematics (2nd ed.). American Mathematical Society.
[2] Brenner, S. C., & Scott, L. R. (2008). The Mathematical Theory of Finite Element Methods (Third).