常微分方程边值问题: 若干数学模型

2021年6月11日2022年3月14日 numanal 0 个评论 Sturm-Liouville, 常微分方程, 欧拉-伯努利, 热传输模型, 边值问题

翅片 (肋片) 的热传输模型

从温度为 $T_s$ 的表面到温度为 $T_\infty$ 的周围介质的传热率由牛顿冷却定律给出: $$ \dot{Q}_{\mathrm{cond}} = hA_s(T_s-T_\infty), $$ 其中 $A_s$ 为热传输表面积, $h$ 为对流换热系数.

热传输方程

考虑位于位置 $x$ 的鳍片的体积单元, 其长度为 $\Delta x$, 截面积为 $A_c$，周长为 $p$. 在稳态条件下, 该体积单元上的能量平衡可以表示为$$ \begin{bmatrix} \text{体积单元从位置 } x \\ \text{ 接收到的热量} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \text{体积单元从位置 } x+\Delta x \\ \text{ 传出的热量 } \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \text{体积单元与} \\ \text{周围介质对流的热量} \end{bmatrix} $$ 也就是说满足如下方程 $$ \dot{Q}_{\mathrm{cond},x} = \dot{Q}_{\mathrm{cond},x+\Delta x} + h(p \Delta x) (T_s-T_\infty). $$ 两边同时除以 $\Delta x$ 并取取极限, 得到 $$ \frac{d\dot{Q}_{\mathrm{cond}}}{dx} + hp (T_s-T_\infty)= 0. $$ 由傅里叶定律可知 $\dot{Q}_{\mathrm{cond}} = -k A_c \frac{dT}{dx} $, $k$ 为翅片的导热系数, $A_c$ 为翅片的横截面积. 代入到上面的方程中得到了刻画翅片热量传输的方程 $$ \frac{d}{dx}\left(k A_c \frac{dT}{dx} \right) – hp (T_s-T_\infty)= 0. $$ 如果我们假设 $k$ 和 $A_c$ 都是常数, 那么就可以得到一个二阶线性微分方程 $$ \frac{d^2 T}{dx^2} – \frac{hp}{k A_c} (T_s-T_\infty)= 0 \quad \text{或} \quad \frac{d^2 \theta}{dx^2} – m^2 \theta= 0, \tag{Eq. 1} $$ 其中 $\theta=T-T_\infty$ 称为温差 (temperature excess), $m^2 = \frac{hP}{kA_c}$.

通解

方程 (Eq. 1) 具有通解 $$ \theta = C_1 e^{mx} + C_2 e^{-mx}, \tag{Eq. 2} $$ 其中 $C_1, C_2$ 是任意常数, 通常由边界条件确定.

边界条件

通常翅片根部的温度是已知的, 满足 $$ \theta(0) = \theta_b = T(0)-T_\infty. $$ 但是, 仅仅利用这一个边界条件是无法完全确定解的, 因为通解包含两个未知数. 所以我们还需要利用翅片尾端的边界条件, 不同情形可以定义不同的边界条件.

翅片的长度无穷大时, 尾端的温度与周围介质的温度相同, 即无穷远边界条件: $\theta(L)=T(L)-T_\infty=0, \ L\to \infty $.
翅片为有限长度时, 可以指定尾端的温度, 即 Dirichlet 边界条件: $\theta(L)=T_L-T_\infty$.
翅片为有限长度时, 但是假设尾端是隔热的, 即 Neumann 边界条件: $\frac{d \theta}{dx}_{|x=L}=0$.
翅片为有限长度时, 并且尾端是可以导热的, 即混合边界条件: $$ -kA_c\frac{d T}{dx}_{|x=L}=kA_c (T(L)-T_{\infty}) \quad \text{或} \quad-\frac{d \theta}{dx}_{|x=L}= \theta(L). $$

物理名词

对流换热系数是流体与固体表面之间的换热能力, 比如说, 物体表面与附近空气温差 $1^\circ$C, 单位时间（1s）单位面积上通过对流与附近空气交换的热量.
热传导定律也称为傅里叶定律, 表明单位时间内通过给定截面的热量, 正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积, 而热量传递的方向则与温度升高的方向相反.

欧拉-伯努利梁方程

欧拉-伯努利梁方程(Euler–Bernoulli beam theory), 是一个关于工程力学、经典梁力学的重要方程; 是一个简化线性弹性理论用于计算梁受力和变形特征.

土木工程中一个常见的问题是矩形截面梁在均布荷载作用下的挠度, 梁的两端固定, 不发生挠度. 我们考虑一致分布的弹性材料, 并且假定梁在自身重量的作用下弯曲程度很小, 以至于它实际上是直的. 如果我们在垂直平面上通过对称轴对梁施加一个载荷, 那么梁是弯曲的. 它的轴弯曲成所谓的弹性曲线C (或挠度曲线). 弹性理论表明, 弯矩 $ M(x) $ 与 $C$ 的曲率 $ k(x) $ 成正比, 我们假设弯曲很小, 挠度 $ y(x) $ 和它的导数 $y'(x) $ (决定 $C$ 的切线方向) 较小. 因此, $k=y^{\prime\prime}/(1+y^{\prime 2})^{3/2}\approx y^{\prime\prime}$. 由弹性理论可知, 弯矩满足如下方程 $$ M(x) = EI y^{\prime\prime}. $$ 另 $f(x)$ 表示单位长度上的载荷, 则 $M^{\prime\prime}(x) = f(x)$. 综合以上两个方程可得 Euler–Bernoulli 方程 $$ EI y^{(\mathrm{iv})} = f(x). \tag{Eq. 3} $$

简支梁的边界条件: 在 $x=0,L$ 上 $y=y^{\prime\prime}=0$.

Sturm–Liouville 问题

给定参数 $\lambda$, 定义在区间 $[a,b]$ 的二阶常微分方程 $$ [p(x)y’]’ + [q(x)+\lambda r(x)]y = 0, \tag{Eq. 4} $$ 称为 Sturm–Liouville 方程, 综合边界条件 $$ \begin{align*} k_1y + k_2 y’ &=0\quad \text{在 } x=a \text{ 上},\\ l_1y + l_2 y’ & =0\quad \text{在 } x=b \text{ 上}, \end{align*} $$ 就称为 Sturm–Liouville 问题, 其中 $k_1,k_2, l_1,l_2\in \mathbb{R}$ 是给定的常数. Sturm–Liouville 问题是多种正交多项式的原方程, 在数值分析理论及应用方面扮演了重要角色. 例如, 另 $p(x)=1, q(x)=0, r(x)=1$ 得到如下方程 $$ y^{\prime\prime}+\lambda y = 0,\quad y(0)=0,\quad y(\pi)=0, $$ 为一个特征值问题, 它的特征值为 $\lambda=\nu^2,\nu=1,2,3,\ldots$, 对应的特征向量为 $y(x)=\sin \nu x, \nu=1,2,\ldots$

参考

Yunus A. Çengel, Afshin J. Ghajar. (2010) Heat and Mass Transfer: Fundamentals and Applications (6th ed.).
Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics (10th ed.).
常微分方程初值问题: 若干数学模型.

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