对数值分析的认识(一)

一.关于数值分析的基本内容

数值分析, 就课程来说, 它是研究解决一些数学问题的数值算法的学科,包括算法分析,实现,精度及稳定性等内容; 本科阶段学习的数值分析课程主要内容有: 插值法和函数逼近理论, 数值积分和数值微分, 解线性方程组的直接方法和矩阵迭代法, 逼近特征值, 非线性方程(组)求根, 常微分方程的数值解法等. 还有的教材会介绍求解偏微分方程的差分和有限元方法, 当然几乎每一块内容都可以单独拉出来写本书, 数值分析的标准教材中都会覆盖这些基本内容, 掌握这些基本内容也就打好基础了, 以后学习数值分析的其它进阶课程就容易入门了. 这门课程要求的基础课程不多, 一般来说, 具备数学分析(高等数学)及高等代数(线性代数)的基本内容就可以了, 当然还要熟悉至少一门计算机语言.

就数学分支来说, 数值分析有一个更贴切的名字–计算数学. 如果想继续学习一些深入内容或者延伸学科(如微分方程数值解, 计算物理, 计算生物等), 以下数学课程也是必备的: 实分析, 泛函分析, 常微分方程, 偏微分方程等数学基础课程.

这门学科的产生是现代工程技术发展的必然需要, 因为有用, 所以就很有学习研究的价值:

  1. 比如数学分析(高等数学)中计算微分和积分一般会有直接的计算公式, 但很多复杂函数或者超越函数的微分和导数就不那么容易算了, 所以这门课程里有一部分内容是介绍数值微分和积分的, 用近似解代替精确解, 提高效率.
  2. 在工程, 气象, 有限元等领域会经常出现一些庞大的线性方程组, 高等代数里介绍了求解线性方程组的消去法, 如果方程组是5阶或10价的用那种方法求解还能接受, 但如果多达万或百万价的方程组就必须求助其它方法了. 数值分析中介绍的矩阵迭代方法就是应对大型方程组的有效方法. 另外, 因为方程组阶数很大, 数据存储就是个问题, 例如一个23227阶的矩阵如果全部用双精度(8 bytes)存储, 就会占用多达4GB内存, 这样的话一般的笔记本是处理不了这样的问题的, 所以这里会涉及到稀疏矩阵的相关知识(当然, 这部分不属于基本内容的范畴).
  3. 还有, 用来刻画疾病传播或人口增长模型的常微分方程, 可以用多种数值方法(Euler法或RK方法)求解数值解来近似代替解析解, 这样也就摆脱了计算解析解的困难. 物理学中出现的大量偏微分方程往往不容易找到解析解, 所以就出现了诸如差分法, 有限元及谱方法等优秀的数值方法用来求解方程的近似解, 极大促进了工程技术的发展.

二. 学习这门课程的一些建议:

1. 本科要求学习的数值分析课程是将来学习计算数学其它分支的基础, 所以本科阶段的主要任务就是熟悉该课程的基本内容, 尤其要掌握一些重要的数值算法, 以便将来遇到问题知道到哪去查找.
2. 重在实践. 数值分析的学习不同于其它理论课程, 它有自己的独特性: 算法的分析与实验验证. 本科遇到的包含算法内容的课程还有最优化理论及运筹学, 这些课程的学习始终离不开上机实验, 所以要有自己擅长的一门计算机语言(最好是C或Fortran), 另外, 利用诸如MATLAB等符号语言做数值验证是非常方便的, 有时候是也是必要的. 如果在本科阶段能学习一下Linux就再好不过了.
3. 数学的学习与其它任何学科的学习都一样, 切记贪多嚼不烂这句话, 粗略的看十本好书, 不如深入的学习一本平庸的书. 为了以后方便最好是深入学习一本自己喜欢的经典教材, 直到哪, 带到哪, 省去很多麻烦.

三. 这方面的参考教材:

国内用的比较多的数值分析基础教材:
[1]李庆扬等, 数值分析(第5版), 清华大学出版社, 2010.
[2]蒋尔雄, 赵风光, 数值逼近, 复旦大学出版社, 2008.
[3]徐树方等, 数值线性代数(第2版), 北京大学出版社, 2013.
[4]宋叶志等, Fortran95/2003科学计算与工程, 清华大学出版社, 2010.
国外的数值分析教材:
[5]Richard, numerical analysis(7th)(有影印版,教育部高等教育司推荐, 非常适合入门的经典).
[6]M. T. Heath, 科学计算导论(2th), 清华大学出版社, 2005.
[7](美)杰拉尔德, 应用数值分析(7th), 机械工业出版社, 2006.
[8]Atkinson, Kendall A. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley \& Sons.
[9]Golub, matrix computations(4th)(有人说这是数值线性代数中的圣经, 进阶课程).
[10]Trefethen, Numerical linear algebra, 也是经典.

四. 关于数值分析的相关文章

谈谈计算数学http://blog.csdn.net/win32asn/article/details/624207
从在科大的切身感受谈计算数学的普及、教育和发展http://www.360doc.com/content/06/0801/23/9482_171004.shtml
转几篇其他论坛关于中国和西方学生数学水平和能力的文章和评http://tieba.baidu.com/p/2673030205
[转]赵金熙: 浅谈计算数学的过去和未来http://www.numanal.com/?p=109